2018年3月10日 星期六

十二律 / 十二平均律

十二律是河洛民族傳統音樂使用的音律,
後來逐漸傳入到朝鮮日本越南等東南亞國家。
律,本來是用來定音的竹管,河洛民族中原古人
用12個不同長度的律管,吹出12個高度不同的標準音高,
以定出音階的高低,故這十二個標準音高也就叫做十二律。
從低到高依次為:
太簇,又作太蔟、太族、大族、大蔟、泰簇、泰族;中呂,又作仲呂;冼,音同「顯」;
無射,又作亡射,射,音如「夜」;蕤,音如「瑞」之陰平聲。

十二律分為陰陽兩類 :
奇數六律為陽律,叫做六律;
偶數六律為陰呂,稱為六呂,合稱律呂
一般所說的六律包括陰陽各六的十二律。
司馬遷的《史記》「律書第三」中寫到:
「……九九八十一以為宮。三分去一,五十四以為徵。
  三分益一,七十二以為商。三分去一,四十八以為羽。
  三分益一,六十四以為角。」
是取一根用來定音的竹管,長為81單位,定為「宮音」。
然後將81乘上2/3,就得到54單位,定為「徵音」。
將徵音的竹管長度54乘上4/3,得到72單位,定為「商音」。
將商音72乘2/3,得48單位,為「羽音」。
羽音48乘4/3,得64單位,為「角音」。
而這宮、商、角、徵、羽五個音高,被稱為中國的五音
中國音樂中用來定音律的
「三分損益法」的確立是考「中聲」而量之以制。
儒家的「中聲」指音高、速度適中的有節制的音樂,
「琴瑟尚宮,鍾尚羽,石尚角,
   匏竹利制,大不逾宮,細不過羽」,
要舍卻彈奏中的「煩手」(複雜多變)。
左傳》有鮮明排斥過度追求音響、

速度變化的「淫聲」、
以能使人保持平和「中聲」為美的思想。 
畢氏學派」中的「五度相生律」與三分損益法相似,
但是五度相生律不考慮生律次數誤差,
使得各調的五聲缺少了三分損益法高度符合人聲的精髓。
同時還把間音4和7籠統地和五聲等同視之進行生律轉調,
造成整個音程關係的混亂,產生誤差。

三分損益與十二律的相關物理 :

在聲學中,聲高指物體振動的頻率
取一簡單物體用來定音高時(如竹管、絲絃),
則它的頻率與其長度是成反比的關係。
如果物體的材質固定,長度愈長,聲音愈低。
除此之外,當長度減為一半時,
頻率將變為原先的兩倍;
長度增成為原先的兩倍時,
頻率成為原先的一半。
這種互為二倍數的特殊比例,
定義為彼此互為「八度音」。
由此,便可以從九九八十一的長度出發,
試算前述藉由「三分損益」求得的長度,
所得到的十二律(宫调):

黃鐘(C): (n = 0)
林鐘(G,由黃鐘三分損而來): (n = 0 + 7 = 7)
太簇(D,由林鐘三分益而來): (n = 7 - 5 = 2)
南呂(A,由太簇三分損而來): (n = 2 + 7 = 9)
姑冼(E,由南呂三分益而來): (n = 9 - 5 = 4)
應鐘(B,由姑洗三分損而來): (n = 4 + 7 = 11)
蕤賓(F#,由應鐘三分益而來): (n = 11 - 5 = 6)
大呂(C#,由蕤賓三分益而來): (n = 6 - 5 = 1)
夷則(G#/Ab,由大呂三分損而來): (n = 1 + 7 = 8)
夾鐘(D#/Eb,由夷則三分益而來): (n = 8 - 5 = 3)
無射(A#/Bb,由夾鐘三分損而來): (n = 3 + 7 = 10)
仲呂(F,由無射三分益而來): (n = 10 - 5 = 5)
清黃鐘(黃鐘的高八度音,由仲呂三分損而來): (n = 5 + 7 = 12)
  • 注意,最後一個「清黃鐘」的長度39.9548849,與直接取「黃鐘」長度的一半 40.5 仍有一段小小的差距,這就是「黃鐘不能還原」的問題。因為在連乘十二次 2/3 或 4/3 後,最後的值不可能達到原始的 1/2。
  • 另外,若在定律時不斷地使用三分損益的操作,最後一定會出現除不盡的小數,使得在實際製作時容易產生誤差。然而在現實上,準確度(Accuracy)與精密度(Precision)絕對有其極限,所以經過十二次的三分損益之後,已經可以構成一個(不甚完美)的音階循環。這也是為何中西音樂理論中,都不約而同地發展出以「12音階」為主流的原因。之後才會出現如純律十二平均律等不同的改進或修正方法。

從上面所計算出來的結果,對照《史記·律書》中的文字,
便可發現當中的抄錄錯誤。宋代沈括的《夢溪筆談》,
便記載了《律書》當中出現「七分」之類的文字,
當為「十分」的誤寫。因此原文中的黃鐘「八寸七分一」
為「八寸十分一、81分」才合理。
以下列出古音十二律與史記的文字記載比較,
並附上與西方「參考音名」與「十二平均律的誤差」計算


古音十二律   史記文字        三分損益    史記數字     西方音名 十二平均律   三分損益與
                                                                                                                              十二平均律偏(%)                                                                                                                            
黃鐘            八寸七分一            81            81(更正後) C             81                -
林鐘            五寸十分四            54            54                   G             54             .06100.11
太簇            七寸十分二            72            72                   D             72             .16280.23
南呂            四寸十分八            48            48                   A              48             .16290.34
姑洗            六寸十分四            64            64                   E             64             .28980.45
應鐘            四寸二分三分二    42.6667   42.6667           B             42             .90830.56
蕤賓            五寸六分三分二    56.8889   56.6667          F♯            57             .27570.68
大呂            七寸五分三分二    75.8519   75.6667          C♯            76             .45380.79
夷則            五寸三分二           50.5679    50.6667         G♯            51             .02680.90
夾鐘            六寸七分三分一    67.4239    67.3333         D♯            68             .11261.01
無射            四寸四分三分二    44.9492    44.6667         A♯            45             .45971.12
仲呂            五寸九分三分二    59.9323    59.6667          F             60             .68141.23

若不照音高排列,而是如上表照三分损益法排列十二律,
则会发现其顺序与五度圈自C开始往顺时钟方向的音位排列恰巧一样。

音律與曆法的配合

由於音律與一年中的月分恰好都定有十二個,
於是在中國上古時代,
人們便把十二律和十二月聯繫起來,
又名十二月律。
例如大秦景教流行中國碑中有「太蔟月」即正月
依照《禮記·月令》上的記載,它們之間的對應為:
孟春之月,律中太簇;
仲春之月,律中夾鐘;
季春之月,律中姑洗;
孟夏之月,律中仲呂;
仲夏之月,律中蕤賓;
季夏之月,律中林鐘;
孟秋之月,律中夷則;
仲秋之月,律中南呂;
季秋之月,律中無射;
孟冬之月,律中應鐘;
仲冬之月,律中黃鐘;
季冬之月,律中大呂。

所謂「律中」就是「音律的對應」,
其徵驗的方法則是憑「吹灰」。
據說古人將十二根律管裡塞入葭莩的灰,
只要到了某個月份,相對應的那一隻律管中的灰
就會自動地飛揚出來,這便是「吹灰候氣」、
「夷則為七月之律」等詞彙的典故。
當然以今日的觀點,吹灰候氣並沒有現實的根據。
值得注意的一點,十二律中最基本的是黃鐘,
中國曆法最基本的則是含有冬至的月份。
《月令》中所列出的,
正是以黃鐘對應冬至所在的仲冬月份——
子月(大雪至小寒之月)。
另外,《周髀算經》提及由於中國古代使用天干地支,
以六十年甲子為一個週期,而60
又包含2、3、4、5、6、10、12、15、30、60等公約數,
所以不同時期規律出現的天象,
會在60年內集中重複,
這些看似奇異的現象
實際上是可以用數理邏輯解釋清楚的。

《春秋左氏傳‧昭公‧昭公元年》:
公曰.女不可近乎
對曰.節之.先王之樂.所以節百事也.
故有五節遲速本末以相及.中聲以降.五降之後.
不容彈矣.於是有煩手淫聲.慆堙心耳.乃忘平和.
君子弗聽也.物亦如之.至於煩.乃舍也已.無以生疾.
君子之近琴瑟.以儀節也.非以慆心也.
天有六氣.降生五味.發為五色.徵為五聲.淫生六疾.
六氣曰陰.陽.風.雨.晦明也.分為四時.序為五節.
過則為菑.陰淫寒疾.陽淫熱疾.風淫末疾.雨淫腹疾.
晦淫惑疾.明淫心疾.女陽物而晦時.
淫則生內熱惑蠱之疾.今君不節不時能無及此乎.
出告趙孟.趙孟曰.誰當良臣.

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十二平均律
公元400年左右,中国南朝数学家何承天
提出世界历史上最早有记载的十二平均律数列
 900 849 802 758 715 677 638 601 570 536509.5479450
(原文:……黄钟长九寸,太簇长八寸二厘,
    林钟长六寸一厘,应钟长四寸七分九厘强)。
意大利的物理学家伽利略·伽利莱的父亲伽利略·文森佐
曾试图解决十二平均率问题,但他用的倍率是 18:17 
而不是,因此自乘12次后只得 1.98556,不是2,
八度走了音,他的系统只可算近似十二音阶平均律。
1605年荷兰数学家西蒙·斯特芬在一篇未完成的手稿
“Van de Spiegheling der singconst”
提出用 计算十二平均律,但因计算精度不够,
他算出的弦长数字,有些偏离正确数字一至二单位之多。

            西蒙·斯特芬的弦长表:
弦 10000比率正确的弦长
半音94381.05954659438.7
全音89091.0593781
1.5 音84041.06009048409
2 倍全音79361.05947587937
2.5 音74911.05940467491.5
3 音70711.05939757071.1
3.5 音66741.05948456674.2
4 音62981.05970146299
4.5 音59441.05955585946
5 音56111.05934775612.3
5.5 音52961.05947885297.2
八度1.0592000
                  西蒙·斯特芬的频率比,每音一率,且各不相同,这是不正确的。


朱載堉发明十二平均律

中國明代音樂家朱載堉於萬曆十二年(1584年)
首次提出「新法密率
(見《律呂精義》、《樂律全書》),
推算出以比率  將八度音等分為十二等分的算法,
並製造出十二平均律律管及律準,
是世界上最早的十二平均律樂器。
他用九九八十一位算盘
计算出来准确到25位数字新法密率为:
律名比率
正黄钟1.000000000000000000000000
倍應鍾1.059463094359295264561825
倍無射1.122462048309372981433533
倍南呂1.189207115002721066717500
倍夷則1.259921049894873164767211
倍林鍾1.334839854170034364830832
倍蕤賓1.414213562373095048801689
倍仲呂1.498307076876681498799281
倍姑洗1.587401051968199474751706
倍夾鍾1.681792830507429086062251
倍太蔟1.781797436280678609480452
倍大呂1.887748625363386993283826
倍黃鐘2.000000000000000000000000


朱載堉首创十二平均律乐器

朱載堉为了验证所创的十二平均律理论,
计算出所需的长度和律管内径,特选用上等竹子,
按数据截取所需的长度,按数据镟出内径,
分别创制世界上最早的十二平均律律管36根, 
分别为新法密率倍率管12根、正律管12根和半律管12根。
选上好竹子制造,金门竹、班竹或紫竹都可,
但最上乘的当推江南出产的笔管竹。
竹管不涂油漆,取天然之质。
如没有合适的内周径,则需加工,经过加工的竹管,
不得已而涂漆;宜用黑漆如同古琴,忌涂红漆,太俗气。


倍率黄钟管的内径取为五寸,下一根竹管的内径为上根竹管的直径除以

樂器尺寸


十二平均律倍律管

十二平均律正律管

十二平均律半律管
律数律名长度内径
1 倍律黃鐘2.0000 尺0.500 尺
2 倍律大呂1.8877 尺0.485 尺
3 倍律太蔟1.7818 尺0.471 尺
4 倍律夾鍾1.6818 尺0.458 尺
5 倍律姑洗1.5874 尺0.445 尺
6 倍律仲呂1.4983 尺0.432 尺
7 倍律蕤賓1.4142 尺0.420 尺
8 倍律林鍾1.3348 尺0.408 尺
9 倍律夷則1.2599 尺0.396 尺
10 倍律南呂1.1892 尺0.385 尺
11 倍律無射1.1224 尺0.374 尺
12 倍律應鍾1.0594 尺0.363 尺
1 正律黄钟1.0000 尺0.353 尺
2 正律大呂0.9439 尺0.343 尺
3 正律太蔟0.8909 尺0.333 尺
4 正律夾鍾0.8409 尺0.324 尺
5 正律姑洗0.7937 尺0.314 尺
6 正律仲呂0.7491 尺0.306 尺
7 正律蕤賓0.7071 尺0.297 尺
8 正律林鍾0.6674 尺0.288 尺
9 正律夷則0.6299 尺0.280 尺
10 正律南呂0.5946 尺0.272 尺
11 正律無射0.5612 尺0.264 尺
12 正律應鍾0.5297 尺0.257 尺
1 半律黃鐘0.5000 尺0.250 尺
2 半律大呂0.4719 尺0.242 尺
3 半律太蔟0.4454 尺0.235 尺
4 半律夾鍾0.4204 尺0.229 尺
5 半律姑洗0.3968 尺0.222 尺
6 半律仲呂0.3745 尺0.216 尺
7 半律蕤賓0.3535 尺0.210 尺
8 半律林鍾0.3337 尺0.204 尺
9 半律夷則0.3150 尺0.198 尺
10 半律南呂0.2973 尺0.192 尺
11 半律無射0.2806 尺0.187 尺
12 半律應鍾0.2648 尺0.181 尺
倍率黄钟管的内径取为五寸,下一根竹管的内径为上根竹管的直径除以


十二平均律准

朱載堉依他對十二平均律所發明的新法密率理論,
创制一種律准。
用桐木制作,琴身厚四分,张琴弦12根,
琴底藏一根黄钟律管,用来定黄钟。


朱載堉12弦十二平均律准
按第   1 弦为 黃鐘 与本弦 散声 应
按第   2 弦为 大呂 与本弦 散声 应
按第   3 弦为 太蔟 与本弦 散声 应
按第   4 弦为 夾鍾 与本弦 散声 应
按第   5 弦为 姑洗 与本弦 散声 应
按第   6 弦为 仲呂 与本弦 散声 应
按第   7 弦为 蕤賓 与本弦 散声 应
按第   8 弦为 林鍾 与本弦 散声 应
按第   9 弦为 夷則 与本弦 散声 应
按第 10 弦为 南呂 与本弦 散声 应
按第 11 弦为 無射 与本弦 散声 应
按第 12 弦为 應鍾 与本弦 散声 应














历史上各种十二平均律的音分

年份人名比率音分
400何承天1.060070671101.0
1580伽利略·文森佐18:1799.0
1581朱載堉1.059463094100.0
1585西蒙·斯特芬1.059546514100.1
1630马兰·梅森1.05932203499.8
1630Johann Faulhaber1.059490385100.0
朱載堉显然是历史上最先获得100音分的十二平均律;
半世纪之后德国数学家Johann Faulhaber也获100音分。

十二平均律表[编辑]

將主音設為a1(440Hz),來計算所有音的頻率,結果如下:
音程名稱間隔半音數十二平均律的倍數頻率
完全一度(A1)0
增一度/小二度(A♯1/B♭1)1
大二度(B1)2
小三度(C)3
大三度(C♯)4
完全四度(D)5
增四度/減五度(D#/E♭)6
完全五度(E)7
小六度(F)8
大六度(F#)9
小七度(G)10
大七度(G#)11
完全八度(A)12
其中
 99 音分
 99.9 音分
 100 音分

十二平均律的西传

16世纪末叶中外交通方兴未艾,
1580年开始,明朝广东承宣布政使司
每两年在广州举办一次为时数周的交易会,
届时东西商人和传教士交流货物和思想;
朱載堉刊行十二平均律学说之时,
正值耶稣会意大利传教士利马窦来华之时,
朱載堉的十二平均律学书,
极有可能在此时通过传教士传向西方。
事实上利马窦在其私人日记里
提到朱載堉的历法新理论,
利马窦本人又是精通天文学和数学,
很可能知道朱載堉用来解决
春分与夏至三个月之间的比率:
无独有偶,利马窦还是法国位居高位的
科学家马兰·梅森 (Pere Marin Mersenne)的朋友,
他们有共同的学术兴趣,在他们交往过程中,
利马窦必将朱載堉获得的
=1.059463094359295264561825 传达给梅森。
1638年梅森出版《和谐音概论》,
书中在西方世界第一次出现1.059463 这个数字,
在此之前西方无人知道这个数字。
因此现今世界乐坛通行的十二平均律,
其发明权非朱載堉莫属。

十九世纪德国物理学家赫尔曼·冯·亥姆霍兹
在所著的论音感一书中写道:
中国有一位王子名叫載堉,力排众议,创导七声音阶。
而将八度分成十二个半音的方法,
也是这个富有天才和智巧的国家发明的 ”。

1890年布鲁塞尔皇家音乐博物馆馆长 
十二平均律流行世界
德国作曲家巴赫於1722年發表的
James Murray Barbour (1897, 3, 31 - 1970, 1, 04) 
研究「調律技術演進史」,
認為1842年由英國樂器製造廠Broadwood
找到十二平均律的調律法,十二平均律才能普及。
 巴赫的鍵盤樂器则是使用他的学生,
音乐理论家Johann Philipp Kirnberger
綜合中庸全音律五度相生律的原理,所發明的調律法。

平均律键盘曲集》(Das Wohltemperierten Klavier,
中文意思是「完美調音的鍵盤樂器」),
有可能就是為十二平均律的鍵盤樂器所著。
十二平均律的德文是Gleichschwebende Temperatur,
而不是Wohltemprierte。
平均律的英文是Equal Temperament,
Temperament是Temper(調律)的動詞,
因為百餘年來歐美各國的調律都採十二平均律,
故現在習慣以Temperament表示十二平均律。
Victor Charles Mahillon 按朱載堉十二平均律律管数据,
复制了一套律管,经过测试之后,他写道:
“关于乐管的管径,我们毫无所知,
  中国人比我们知道的多得多。
  我们按王子載堉的数据复制了一套律管,
  测试结果表明他的理论的准确性。

9 則留言:

  1. 中國樂器知識, 值得推薦閱讀。

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  2. ♦*。。☾好友🌜甜夢安睡☁・。。゚๑🌛
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  3. 看這麼多數字、音頻研究音調, 你可真有心機!

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    1. 大夫的回覆夠超然~~~~﹗﹗
      三言兩語, 有回應, 有意思, 又簡單。 like﹗

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