律，本來是用來定音的竹管，河洛民族中原古人，
用12個不同長度的律管，吹出12個高度不同的標準音高，
以定出音階的高低，故這十二個標準音高也就叫做十二律。
從低到高依次為：
太簇，又作太蔟、太族、大族、大蔟、泰簇、泰族；中呂，又作仲呂；冼，音同「顯」；
無射，又作亡射，射，音如「夜」；蕤，音如「瑞」之陰平聲。
十二律分為陰陽兩類 :
奇數六律為陽律，叫做六律；
一般所說的六律包括陰陽各六的十二律。
「……九九八十一以為宮。三分去一，五十四以為徵。
三分益一，七十二以為商。三分去一，四十八以為羽。
三分益一，六十四以為角。」
是取一根用來定音的竹管，長為81單位，定為「宮音」。
然後將81乘上2/3，就得到54單位，定為「徵音」。
將徵音的竹管長度54乘上4/3，得到72單位，定為「商音」。
將商音72乘2/3，得48單位，為「羽音」。
羽音48乘4/3，得64單位，為「角音」。
而這宮、商、角、徵、羽五個音高，被稱為中國的五音。
「三分損益法」的確立是考「中聲」而量之以制。
「琴瑟尚宮，鍾尚羽，石尚角，
匏竹利制，大不逾宮，細不過羽」，
要舍卻彈奏中的「煩手」（複雜多變）。
《左傳》有鮮明排斥過度追求音響、
速度變化的「淫聲」、
以能使人保持平和「中聲」為美的思想。
但是五度相生律不考慮生律次數誤差，
使得各調的五聲缺少了三分損益法，高度符合人聲的精髓。
同時還把間音4和7，籠統地和五聲等同視之進行生律轉調，
造成整個音程關係的混亂，產生誤差。
三分損益與十二律的相關物理 :
取一簡單物體用來定音高時（如竹管、絲絃），
則它的頻率與其長度是成反比的關係。
如果物體的材質固定，長度愈長，聲音愈低。
除此之外，當長度減為一半時，
頻率將變為原先的兩倍；
長度增成為原先的兩倍時，
頻率成為原先的一半。
這種互為二倍數的特殊比例，
定義為彼此互為「八度音」。
由此，便可以從九九八十一的長度出發，
試算前述藉由「三分損益」求得的長度，
所得到的十二律（宫调）：
黃鐘（C）：
(
n = 0)
林鐘（G，由黃鐘三分損而來）：
(
n = 0 + 7 = 7)
太簇（D，由林鐘三分益而來）：
(
n = 7 - 5 = 2)
南呂（A，由太簇三分損而來）：
(
n = 2 + 7 = 9)
姑冼（E，由南呂三分益而來）：
(
n = 9 - 5 = 4)
應鐘（B，由姑洗三分損而來）：
(
n = 4 + 7 = 11)
蕤賓（F#，由應鐘三分益而來）：
(
n = 11 - 5 = 6)
大呂（C#，由蕤賓三分益而來）：
(
n = 6 - 5 = 1)
夷則（G#/Ab，由大呂三分損而來）：
(
n = 1 + 7 = 8)
夾鐘（D#/Eb，由夷則三分益而來）：
(
n = 8 - 5 = 3)
無射（A#/Bb，由夾鐘三分損而來）：
(
n = 3 + 7 = 10)
仲呂（F，由無射三分益而來）：
(
n = 10 - 5 = 5)
清黃鐘（黃鐘的高八度音，由仲呂三分損而來）：
(
n = 5 + 7 = 12)
- 注意，最後一個「清黃鐘」的長度39.9548849，與直接取「黃鐘」長度的一半 40.5 仍有一段小小的差距，這就是「黃鐘不能還原」的問題。因為在連乘十二次 2/3 或 4/3 後，最後的值不可能達到原始的 1/2。
- 另外，若在定律時不斷地使用三分損益的操作，最後一定會出現除不盡的小數，使得在實際製作時容易產生誤差。然而在現實上，準確度（Accuracy）與精密度（Precision）絕對有其極限，所以經過十二次的三分損益之後，已經可以構成一個（不甚完美）的音階循環。這也是為何中西音樂理論中，都不約而同地發展出以「12音階」為主流的原因。之後才會出現如純律、十二平均律等不同的改進或修正方法。
從上面所計算出來的結果，對照《史記·律書》中的文字，
便記載了《律書》當中出現「七分」之類的文字，
當為「十分」的誤寫。因此原文中的黃鐘「八寸七分一」
為「八寸十分一、81分」才合理。
以下列出古音十二律與史記的文字記載比較，
並附上與西方「參考音名」與「十二平均律的誤差」計算。
古音十二律 史記文字 三分損益 史記數字 西方音名 十二平均律 三分損益與
十二平均律偏（%）
黃鐘 八寸七分一 81 81（更正後） C 81 -
林鐘 五寸十分四 54 54 G 54 .06100.11
太簇 七寸十分二 72 72 D 72 .16280.23
南呂 四寸十分八 48 48 A 48 .16290.34
姑洗 六寸十分四 64 64 E 64 .28980.45
應鐘 四寸二分三分二 42.6667 42.6667 B 42 .90830.56
蕤賓 五寸六分三分二 56.8889 56.6667 F♯ 57 .27570.68
大呂 七寸五分三分二 75.8519 75.6667 C♯ 76 .45380.79
夷則 五寸三分二 50.5679 50.6667 G♯ 51 .02680.90
夾鐘 六寸七分三分一 67.4239 67.3333 D♯ 68 .11261.01
無射 四寸四分三分二 44.9492 44.6667 A♯ 45 .45971.12
仲呂 五寸九分三分二 59.9323 59.6667 F 60 .68141.23
若不照音高排列，而是如上表照三分损益法排列十二律，
则会发现其顺序与五度圈自C开始往顺时钟方向的音位排列恰巧一样。
音律與曆法的配合
由於音律與一年中的月分恰好都定有十二個，
於是在中國上古時代，
人們便把十二律和十二月聯繫起來，
又名十二月律。
孟春之月，律中太簇；
仲春之月，律中夾鐘；
季春之月，律中姑洗；
孟夏之月，律中仲呂；
仲夏之月，律中蕤賓；
季夏之月，律中林鐘；
孟秋之月，律中夷則；
仲秋之月，律中南呂；
季秋之月，律中無射；
孟冬之月，律中應鐘；
仲冬之月，律中黃鐘；
季冬之月，律中大呂。
所謂「律中」就是「音律的對應」，
其徵驗的方法則是憑「吹灰」。
據說古人將十二根律管裡塞入葭莩的灰，
只要到了某個月份，相對應的那一隻律管中的灰，
就會自動地飛揚出來，這便是「吹灰候氣」、
「夷則為七月之律」等詞彙的典故。
當然以今日的觀點，吹灰候氣並沒有現實的根據。
值得注意的一點，十二律中最基本的是黃鐘，
《月令》中所列出的，
正是以黃鐘對應冬至所在的仲冬月份——
子月（大雪至小寒之月）。
另外，《周髀算經》提及由於中國古代使用天干地支，
以六十年甲子為一個週期，而60
又包含2、3、4、5、6、10、12、15、30、60等公約數，
所以不同時期規律出現的天象，
會在60年內集中重複，
這些看似奇異的現象，
實際上是可以用數理邏輯解釋清楚的。
《春秋左氏傳‧昭公‧昭公元年》：
公曰．女不可近乎
對曰．節之．先王之樂．所以節百事也．
故有五節遲速本末以相及．中聲以降．五降之後．
不容彈矣．於是有煩手淫聲．慆堙心耳．乃忘平和．
君子弗聽也．物亦如之．至於煩．乃舍也已．無以生疾．
君子之近琴瑟．以儀節也．非以慆心也．
天有六氣．降生五味．發為五色．徵為五聲．淫生六疾．
六氣曰陰．陽．風．雨．晦明也．分為四時．序為五節．
過則為菑．陰淫寒疾．陽淫熱疾．風淫末疾．雨淫腹疾．
晦淫惑疾．明淫心疾．女陽物而晦時．
淫則生內熱惑蠱之疾．今君不節不時能無及此乎．
出告趙孟．趙孟曰．誰當良臣．
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
十二平均律
提出世界历史上最早有记载的十二平均律数列
900 849 802 758 715 677 638 601 570 536509.5479450
（原文：……黄钟长九寸，太簇长八寸二厘，
林钟长六寸一厘，应钟长四寸七分九厘强）。
曾试图解决十二平均率问题，但他用的倍率是 18:17 ，
而不是![\sqrt [12] {2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc835f27425fb3140e1f75a5faa35b1e8b9efc35)
，因此自乘12次后只得 1.98556，不是2，
八度走了音，他的系统只可算近似十二音阶平均律。
“Van de Spiegheling der singconst”，
提出用![\sqrt [12] {1/2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d71e2b106e0e185190f4016e154c29b181db69d3)
计算十二平均律，但因计算精度不够，
他算出的弦长数字，有些偏离正确数字一至二单位之多。
西蒙·斯特芬的弦长表：
| 音 | 弦 10000 | 比率 | 正确的弦长 |
|---|
| 半音 | 9438 | 1.0595465 | 9438.7 |
| 全音 | 8909 | 1.0593781 | |
| 1.5 音 | 8404 | 1.0600904 | 8409 |
| 2 倍全音 | 7936 | 1.0594758 | 7937 |
| 2.5 音 | 7491 | 1.0594046 | 7491.5 |
| 3 音 | 7071 | 1.0593975 | 7071.1 |
| 3.5 音 | 6674 | 1.0594845 | 6674.2 |
| 4 音 | 6298 | 1.0597014 | 6299 |
| 4.5 音 | 5944 | 1.0595558 | 5946 |
| 5 音 | 5611 | 1.0593477 | 5612.3 |
| 5.5 音 | 5296 | 1.0594788 | 5297.2 |
| 八度 | | 1.0592000 | |
西蒙·斯特芬的频率比，每音一率，且各不相同，这是不正确的。
朱載堉发明十二平均律
推算出以比率 將八度音等分為十二等分的算法，
並製造出十二平均律律管及律準，
是世界上最早的十二平均律樂器。
他用九九八十一位算盘，
计算出来准确到25位数字新法密率为：
| 律名 | 比率 |
|---|
| 正黄钟 | 1.000000000000000000000000 |
| 倍應鍾 | 1.059463094359295264561825 |
| 倍無射 | 1.122462048309372981433533 |
| 倍南呂 | 1.189207115002721066717500 |
| 倍夷則 | 1.259921049894873164767211 |
| 倍林鍾 | 1.334839854170034364830832 |
| 倍蕤賓 | 1.414213562373095048801689 |
| 倍仲呂 | 1.498307076876681498799281 |
| 倍姑洗 | 1.587401051968199474751706 |
| 倍夾鍾 | 1.681792830507429086062251 |
| 倍太蔟 | 1.781797436280678609480452 |
| 倍大呂 | 1.887748625363386993283826 |
| 倍黃鐘 | 2.000000000000000000000000 |
朱載堉首创十二平均律乐器
计算出所需的长度和律管内径，特选用上等竹子，
按数据截取所需的长度，按数据镟出内径，
分别创制世界上最早的十二平均律律管36根，
分别为新法密率倍率管12根、正律管12根和半律管12根。
选上好竹子制造，金门竹、班竹或紫竹都可，
但最上乘的当推江南出产的笔管竹。
竹管不涂油漆，取天然之质。
如没有合适的内周径，则需加工，经过加工的竹管，
不得已而涂漆；宜用黑漆如同古琴，忌涂红漆，太俗气。
倍率黄钟管的内径取为五寸，下一根竹管的内径为上根竹管的直径除以![\sqrt [24] {2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/edf77c2ed37bcf5bd90e3a4558ab4a7971ca8c35)
：
樂器尺寸
| 律数 | 律名 | 长度 | 内径 |
|---|
| 1 倍律 | 黃鐘 | 2.0000 尺 | 0.500 尺 |
| 2 倍律 | 大呂 | 1.8877 尺 | 0.485 尺 |
| 3 倍律 | 太蔟 | 1.7818 尺 | 0.471 尺 |
| 4 倍律 | 夾鍾 | 1.6818 尺 | 0.458 尺 |
| 5 倍律 | 姑洗 | 1.5874 尺 | 0.445 尺 |
| 6 倍律 | 仲呂 | 1.4983 尺 | 0.432 尺 |
| 7 倍律 | 蕤賓 | 1.4142 尺 | 0.420 尺 |
| 8 倍律 | 林鍾 | 1.3348 尺 | 0.408 尺 |
| 9 倍律 | 夷則 | 1.2599 尺 | 0.396 尺 |
| 10 倍律 | 南呂 | 1.1892 尺 | 0.385 尺 |
| 11 倍律 | 無射 | 1.1224 尺 | 0.374 尺 |
| 12 倍律 | 應鍾 | 1.0594 尺 | 0.363 尺 |
| 1 正律 | 黄钟 | 1.0000 尺 | 0.353 尺 |
| 2 正律 | 大呂 | 0.9439 尺 | 0.343 尺 |
| 3 正律 | 太蔟 | 0.8909 尺 | 0.333 尺 |
| 4 正律 | 夾鍾 | 0.8409 尺 | 0.324 尺 |
| 5 正律 | 姑洗 | 0.7937 尺 | 0.314 尺 |
| 6 正律 | 仲呂 | 0.7491 尺 | 0.306 尺 |
| 7 正律 | 蕤賓 | 0.7071 尺 | 0.297 尺 |
| 8 正律 | 林鍾 | 0.6674 尺 | 0.288 尺 |
| 9 正律 | 夷則 | 0.6299 尺 | 0.280 尺 |
| 10 正律 | 南呂 | 0.5946 尺 | 0.272 尺 |
| 11 正律 | 無射 | 0.5612 尺 | 0.264 尺 |
| 12 正律 | 應鍾 | 0.5297 尺 | 0.257 尺 |
| 1 半律 | 黃鐘 | 0.5000 尺 | 0.250 尺 |
| 2 半律 | 大呂 | 0.4719 尺 | 0.242 尺 |
| 3 半律 | 太蔟 | 0.4454 尺 | 0.235 尺 |
| 4 半律 | 夾鍾 | 0.4204 尺 | 0.229 尺 |
| 5 半律 | 姑洗 | 0.3968 尺 | 0.222 尺 |
| 6 半律 | 仲呂 | 0.3745 尺 | 0.216 尺 |
| 7 半律 | 蕤賓 | 0.3535 尺 | 0.210 尺 |
| 8 半律 | 林鍾 | 0.3337 尺 | 0.204 尺 |
| 9 半律 | 夷則 | 0.3150 尺 | 0.198 尺 |
| 10 半律 | 南呂 | 0.2973 尺 | 0.192 尺 |
| 11 半律 | 無射 | 0.2806 尺 | 0.187 尺 |
| 12 半律 | 應鍾 | 0.2648 尺 | 0.181 尺 |
倍率黄钟管的内径取为五寸，下一根竹管的内径为上根竹管的直径除以。
十二平均律准
创制一種律准。
用桐木制作，琴身厚四分，张琴弦12根，
琴底藏一根黄钟律管，用来定黄钟。
- 按第 1 弦为 黃鐘 与本弦 散声 应
- 按第 2 弦为 大呂 与本弦 散声 应
- 按第 3 弦为 太蔟 与本弦 散声 应
- 按第 4 弦为 夾鍾 与本弦 散声 应
- 按第 5 弦为 姑洗 与本弦 散声 应
- 按第 6 弦为 仲呂 与本弦 散声 应
- 按第 7 弦为 蕤賓 与本弦 散声 应
- 按第 8 弦为 林鍾 与本弦 散声 应
- 按第 9 弦为 夷則 与本弦 散声 应
- 按第 10 弦为 南呂 与本弦 散声 应
- 按第 11 弦为 無射 与本弦 散声 应
- 按第 12 弦为 應鍾 与本弦 散声 应
历史上各种十二平均律的音分
| 年份 | 人名 | 比率 | 音分 |
|---|
| 400 | 何承天 | 1.060070671 | 101.0 |
| 1580 | 伽利略·文森佐 | 18:17 | 99.0 |
| 1581 | 朱載堉 | 1.059463094 | 100.0 |
| 1585 | 西蒙·斯特芬 | 1.059546514 | 100.1 |
| 1630 | 马兰·梅森 | 1.059322034 | 99.8 |
| 1630 | Johann Faulhaber | 1.059490385 | 100.0 |
朱載堉显然是历史上最先获得100
音分的十二平均律；
十二平均律表[编辑]
將主音設為a1(440Hz)，來計算所有音的頻率，結果如下：
| 音程名稱 | 間隔半音數 | 十二平均律的倍數 | 頻率 |
|---|
| 完全一度(A1) | 0 |  |  |
|---|
| 增一度/小二度(A♯1/B♭1) | 1 | ![\sqrt[12]{2048}=2^{\frac{11}{12}}\approx 1.8877486253633869932838263133351](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/285ca87087c7de935837023205e6d3156ea2c722) |  |
|---|
| 大二度(B1) | 2 | ![\sqrt[6]{32}=2^{\frac{5}{6}}\approx 1.781797436280678609480452411181](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6070ff25eb9d193e218a7030722ce6efd49056cc) |  |
|---|
| 小三度(C) | 3 | ![\sqrt[4]{8}=2^{\frac{3}{4}}\approx 1.6817928305074290860622509524664](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7bf36c35f2d2d969563a6b54ab8a80dd708026f) |  |
|---|
| 大三度(C♯) | 4 | ![\sqrt[3]{4}=2^{\frac{2}{3}}\approx 1.5874010519681994747517056392723](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/796f135a52607539118f8112eb4f83baed3b2ed5) |  |
|---|
| 完全四度(D) | 5 | ![\sqrt[12]{128}=2^{\frac{7}{12}}\approx 1.4983070768766814987992807320298](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35283e5d9bdd682e0e8d2ce74e92b9408105f657) |  |
|---|
| 增四度/減五度(D#/E♭) | 6 |  |  |
|---|
| 完全五度(E) | 7 | ![\sqrt[12]{32}=2^{\frac{5}{12}}\approx 1.3348398541700343648308318811845](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0425c863c2e3d58769558f9fd83b3ce5c302519d) |  |
|---|
| 小六度(F) | 8 | ![\sqrt[3]{2}=2^{\frac{1}{3}}\approx 1.2599210498948731647672106072782](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d52c191f1f9b846d19320383a7a5ea08763e52b5) |  |
|---|
| 大六度(F#) | 9 | ![\sqrt[4]{2}=2^{\frac{1}{4}}\approx 1.1892071150027210667174999705605](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3d584a3d014ff2e0aa1b88fad7ad14d471c63db) |  |
|---|
| 小七度(G) | 10 | ![\sqrt[6]{2}=2^{\frac{1}{6}}\approx 1.1224620483093729814335330496792](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2106ef2469220324c6d0e97f1ba451d65bbfb2fc) |  |
|---|
| 大七度(G#) | 11 | ![\sqrt[12]{2}=2^{\frac{1}{12}}\approx 1.0594630943592952645618252949463](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93fdcc3d42b4d02ff06db28892c6efcb4085f188) |  |
|---|
| 完全八度(A) | 12 |  |  |
|---|
其中
![\sqrt[12]{2}=2^{\frac{1}{12}}\approx 1.05946309435929526456182529494](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16fdeed1ef0a0d20838003bb38323591849627f6)
99 音分
99.9 音分
100 音分
十二平均律的西传
16世纪末叶中外交通方兴未艾，
-
每两年在广州举办一次为时数周的交易会，
届时东西商人和传教士交流货物和思想；
朱載堉刊行十二平均律学说之时，
-
朱載堉的十二平均律学书，
极有可能在此时通过传教士传向西方。
事实上利马窦在其私人日记里，
提到朱載堉的历法新理论，
利马窦本人又是精通天文学和数学，
很可能知道朱載堉用来解决，
春分与夏至三个月之间的比率：
无独有偶，利马窦还是法国位居高位的
科学家马兰·梅森 （Pere Marin Mersenne）的朋友，
他们有共同的学术兴趣，在他们交往过程中，
利马窦必将朱載堉获得的
=1.059463094359295264561825 传达给梅森。
1638年梅森出版《和谐音概论》，
书中在西方世界第一次出现1.059463 这个数字，
在此之前西方无人知道这个数字。
因此现今世界乐坛通行的十二平均律，
其发明权非朱載堉莫属。
-
在所著的论音感一书中写道：
“中国有一位王子名叫載堉，力排众议，创导七声音阶。
而将八度分成十二个半音的方法，
也是这个富有天才和智巧的国家发明的 ”。
1890年布鲁塞尔皇家音乐博物馆馆长
- 十二平均律流行世界
James Murray Barbour (1897, 3, 31 - 1970, 1, 04)
- 研究「調律技術演進史」，
- 認為1842年由英國樂器製造廠Broadwood，
- 找到十二平均律的調律法，十二平均律才能普及。
- 巴赫的鍵盤樂器则是使用他的学生，
- 音乐理论家Johann Philipp Kirnberger
- 綜合中庸全音律與五度相生律的原理，所發明的調律法。
- 《平均律键盘曲集》(Das Wohltemperierten Klavier，
- 中文意思是「完美調音的鍵盤樂器」)，
- 有可能就是為十二平均律的鍵盤樂器所著。
- 十二平均律的德文是Gleichschwebende Temperatur，
- 而不是Wohltemprierte。
- 平均律的英文是Equal Temperament，
- Temperament是Temper（調律）的動詞，
- 因為百餘年來歐美各國的調律都採十二平均律，
- 故現在習慣以Temperament表示十二平均律。
- Victor Charles Mahillon 按朱載堉十二平均律律管数据，
- 复制了一套律管，经过测试之后，他写道：
- “关于乐管的管径，我们毫无所知，
- 中国人比我们知道的多得多。
- 我们按王子載堉的数据复制了一套律管，
- 测试结果表明他的理论的准确性。”
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